55. \(\log_3(3^x-1)\cdot\log_3(3^{x+1}-3)=6\).

Область определения: \(x>0\). Заметим, что \(3^{x+1}-3=3(3^x-1)\). Положим \(t=\log_3(3^x-1)\); второй логарифм тогда равен \(t+1\).

Получаем \(t(t+1)=6\), то есть \((t-2)(t+3)=0\). При \(t=2\): \(3^x-1=9\), откуда \(x=\log_3 10\). При \(t=-3\): \(3^x-1=\frac1{27}\), откуда \(3^x=\frac{28}{27}\) и \(x=\log_3\frac{28}{27}\). Оба значения удовлетворяют области определения.

Ответ: \(\log_3 10;\ \log_3\frac{28}{27}\).