5) 6∛(x − 3) + ∛(x − 2) = 5⁶√((x − 2)(x − 3))

Подкоренное выражение шестого корня должно быть неотрицательным, поэтому x ≤ 2 или x ≥ 3. При x ≤ 2 оба кубических корня неположительны, левая часть отрицательна, а правая неотрицательна; решений в этой области нет.

Пусть x ≥ 3, a = ∛(x − 3), b = ∛(x − 2). Тогда a ≥ 0, b > 0, b³ − a³ = 1, а уравнение становится 6a + b = 5√(ab). При a = 0 равенство невозможно, поэтому положим r = b/a > 1.

Деление равенства на a даёт 6 + r = 5√r. Положив t = √r, получаем t² − 5t + 6 = 0, то есть t = 2 или t = 3. Следовательно, r = 4 или r = 9.

Из b³ − a³ = 1 и b = ra следует a³ = 1/(r³ − 1), а x = a³ + 3. При r = 4 получаем x = 190/63; при r = 9 — x = 2185/728. Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x = 190/63; 2185/728.