5. Найдите значение выражения $$\sqrt{\frac{1}{16}\cdot x^6 y^4}$$ при $$x=2$$ и $$y=5$$.

Решение:

1. Сначала упростим выражение под корнем, используя свойства степеней $$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$ и $$a^{m\cdot n} = (a^m)^n$$:\[ \sqrt{\frac{1}{16} x^6 y^4} = \sqrt{\frac{x^6 y^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^6 y^4}}{\sqrt{16}} \]
2. Извлечем корень из числителя и знаменателя:
   $$\sqrt{16} = 4$$
   $$\sqrt{x^6 y^4} = \sqrt{(x^3)^2 (y^2)^2} = |x^3 y^2|$$
3. Теперь у нас есть:\[ \frac{|x^3 y^2|}{4} \]
4. Подставим значения $$x=2$$ и $$y=5$$:\[ \frac{|2^3 \cdot 5^2|}{4} = \frac{|8 \cdot 25|}{4} = \frac{|200|}{4} \]
5. Вычислим:\[ \frac{200}{4} = 50 \]

Ответ: 50