9. Найдите значение выражения $$\sqrt{7 \cdot 12 \cdot \sqrt{21}}$$.

Решение:

1. Заметим, что $$12 = 4 \cdot 3$$ и $$21 = 3 \cdot 7$$.
2. Подставим это в выражение под корнем:\[ \sqrt{7 \cdot (4 \cdot 3) \cdot \sqrt{3 \cdot 7}} \]
3. Перегруппируем множители:\[ \sqrt{7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3 \cdot 7}} = \sqrt{21 \cdot 4 \cdot \sqrt{21}} \]
4. Вынесем 4 из-под корня:\[ \sqrt{21 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{21}} = 2 \sqrt{21 \cdot \sqrt{21}} \]
5. Запишем $$\sqrt{21}$$ как $$21^{1/2}$$:\[ 2 \sqrt{21 \cdot 21^{1/2}} \]
6. Применим свойство $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$:
   \[ 2 \sqrt{21^{1 + 1/2}} = 2 \sqrt{21^{3/2}} \]
7. Теперь применим свойство $$\sqrt{a^m} = a^{m/2}$$:\[ 2 \cdot (21^{3/2})^{1/2} = 2 \cdot 21^{(3/2) \cdot (1/2)} = 2 \cdot 21^{3/4} \]

Ответ: $$2 \cdot 21^{3/4}$$