5) Найти производную функции y = sin x · cos x

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций \( y = \sin x · \cos x \) используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

1. Пусть \( u = \sin x \), тогда \( u' = \cos x \).
2. Пусть \( v = \cos x \), тогда \( v' = -\sin x \).
3. Применяем правило произведения: \( y' = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x \).
4. Используя формулу двойного угла \( \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \), получаем \( y' = \cos(2x) \).

Ответ: \( y' = \cos(2x) \).