6) Найти производную функции y = sin x / cos x

Решение:

Для нахождения производной частного двух функций \( y = \frac{\sin x}{\cos x} \) используем правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

1. Пусть \( u = \sin x \), тогда \( u' = \cos x \).
2. Пусть \( v = \cos x \), тогда \( v' = -\sin x \).
3. Применяем правило частного: \( y' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \).
4. Используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), получаем \( y' = \frac{1}{\cos^2 x} \).
5. Также \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \), что является производной от \( \tan x \).

Ответ: \( y' = \frac{1}{\cos^2 x} \) или \( y' = \sec^2 x \).