8) Найти производную функции y = tg(4x + x²)

Решение:

Для нахождения производной сложной функции \( y = \tan(4x + x^2) \) применяем правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки).

1. Пусть \( u = 4x + x^2 \), тогда \( y = \tan u \).
2. Производная \( y \) по \( u \) равна \( \frac{dy}{du} = \sec^2 u \) (где \( \sec u = \frac{1}{\cos u} \)).
3. Производная \( u \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = 4 + 2x \).
4. По правилу цепочки: \( y' = \frac{dy}{du} · \frac{du}{dx} = \sec^2 u · (4 + 2x) \).
5. Подставляем \( u = 4x + x^2 \): \( y' = \sec^2(4x + x^2) · (4 + 2x) \).

Ответ: \( y' = (4 + 2x) \sec^2(4x + x^2) \).