9) Найти производную функции y = cos⁵x

Решение:

Для нахождения производной сложной функции \( y = \cos^5 x \) применяем правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки).

1. Пусть \( u = \cos x \), тогда \( y = u^5 \).
2. Производная \( y \) по \( u \) равна \( \frac{dy}{du} = 5u^{5-1} = 5u^4 \).
3. Производная \( u \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = -\sin x \).
4. По правилу цепочки: \( y' = \frac{dy}{du} · \frac{du}{dx} = 5u^4 · (-\sin x) \).
5. Подставляем \( u = \cos x \): \( y' = 5(\cos x)^4 (-\sin x) = -5\cos^4 x \sin x \).

Ответ: \( y' = -5\cos^4 x \sin x \).