9) Найти производную функции y = cos⁵x

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \cos^5 x \) используем правило дифференцирования сложной функции.

Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( y = u^5 \).

Производная внешней функции \( u^5 \) по \( u \) равна \( 5u^4 \).

Производная внутренней функции \( u = \cos x \) по \( x \) равна \( -\sin x \).

По правилу цепи:

\[ y' = 5u^4 \cdot (-\sin x) \]

Подставляем \( u = \cos x \) обратно:

\[ y' = 5(\cos x)^4 \cdot (-\sin x) = -5 \cos^4 x \sin x \]

Ответ: \( y' = -5 \cos^4 x \sin x \).