044.10. a) log3 (x - 2) + log3 (x + 2) = log3 (2x – 1);

Решим уравнение: $$\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 2) = \log_3 (2x - 1)$$

Воспользуемся свойством логарифмов: $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$. Тогда уравнение можно переписать как:

$$\log_3 ((x - 2)(x + 2)) = \log_3 (2x - 1)$$ $$\log_3 (x^2 - 4) = \log_3 (2x - 1)$$

Так как логарифмы равны, то равны и их аргументы:

$$x^2 - 4 = 2x - 1$$

Решим это квадратное уравнение: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

Найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ и $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Проверим решения. Логарифм существует только для положительных значений аргумента, поэтому проверим условия:

$$x - 2 > 0$$, $$x + 2 > 0$$ и $$2x - 1 > 0$$

Для $$x = 3$$: $$3 - 2 = 1 > 0$$, $$3 + 2 = 5 > 0$$ и $$2(3) - 1 = 5 > 0$$

Для $$x = -1$$: $$-1 - 2 = -3 < 0$$, следовательно, $$x = -1$$ не является решением.

Итак, остается $$x = 3$$:

$$\log_3 (3 - 2) + \log_3 (3 + 2) = \log_3 (2(3) - 1)$$ $$\log_3 1 + \log_3 5 = \log_3 5$$

$$\log_3 5 = \log_3 5$$

Ответ: 3