6) logx-1(12x – x² - 19) = 3.

Решим уравнение: $$\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 3$$

По определению логарифма: $$12x - x^2 - 19 = (x - 1)^3$$

$$12x - x^2 - 19 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$

$$x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$$

$$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$$

$$(x - 2)(x^2 - 9) = 0$$

$$(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$$

$$x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = -3$$

Проверим корни. Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1, а также аргумент логарифма должен быть больше 0.

1) Если x = 2:

Основание: $$x - 1 = 2 - 1 = 1$$, что не удовлетворяет условию $$x-1
eq 1$$, следовательно, x = 2 - не корень.

2) Если x = 3:

Основание: $$x - 1 = 3 - 1 = 2 > 0$$ и $$x - 1
eq 1$$

Аргумент: $$12(3) - 3^2 - 19 = 36 - 9 - 19 = 8 > 0$$

Проверим уравнение: $$\log_{3-1}(12(3) - 3^2 - 19) = 3$$; $$\log_2 8 = 3$$; $$3 = 3$$

Следовательно, x = 3 - корень.

3) Если x = -3:

Основание: $$x - 1 = -3 - 1 = -4$$, что не удовлетворяет условию $$x-1 > 0$$, следовательно, x = -3 не является корнем.

Ответ: 3