123. а) На сторонах АВ, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что AP-BM=CE=DK=3 см, LAPK=60°. Найдите периметр четырехугольника РМЕК.

Решение:

1) Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a, на сторонах AB, BC, CD и AD отмечены точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 3 см, угол APK = 60°.

2) В прямоугольном треугольнике APK tg APK = AK / AP. AK = a - 3. AP = AK / tg APK = (a - 3) / tg 60° = (a - 3) / √3.

3) Так как AP = 3, то (a - 3) / √3 = 3. Следовательно, a - 3 = 3√3, a = 3√3 + 3 = 3(√3 + 1).

4) Рассмотрим треугольник APК. По теореме Пифагора PK = √ (AP^2 + AK^2) = √ (3^2 + (3√3)^2) = √ (9 + 27) = √36 = 6.

5) Так как все стороны четырехугольника PMEK равны, то PMEK - ромб, и его периметр равен 4 * PK = 4 * 6 = 24.

Ответ: 24 см.