б) На сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что AP=BM=CE=DK= 5 см, угол АРК равен 60°. Найдите периметр четырехугольника РМЕК.

Решение:

1) Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a, на сторонах AB, BC, CD и AD отмечены точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 5 см, угол APK = 60°.

2) В прямоугольном треугольнике APK tg APK = AK / AP. AK = a - 5. AP = AK / tg APK = (a - 5) / tg 60° = (a - 5) / √3.

3) Так как AP = 5, то (a - 5) / √3 = 5. Следовательно, a - 5 = 5√3, a = 5√3 + 5 = 5(√3 + 1).

4) Рассмотрим треугольник APК. По теореме Пифагора PK = √ (AP^2 + AK^2) = √ (5^2 + (5√3)^2) = √ (25 + 75) = √100 = 10.

5) Так как все стороны четырехугольника PMEK равны, то PMEK - ромб, и его периметр равен 4 * PK = 4 * 10 = 40.

Ответ: 40 см.