в) На сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР=BM=CE=DK= 6 см, угол АРК равен 60°. Найдите периметр четыр ника РМЕК.

Решение:

1) Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a, на сторонах AB, BC, CD и AD отмечены точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 6 см, угол APK = 60°.

2) В прямоугольном треугольнике APK tg APK = AK / AP. AK = a - 6. AP = AK / tg APK = (a - 6) / tg 60° = (a - 6) / √3.

3) Так как AP = 6, то (a - 6) / √3 = 6. Следовательно, a - 6 = 6√3, a = 6√3 + 6 = 6(√3 + 1).

4) Рассмотрим треугольник APК. По теореме Пифагора PK = √ (AP^2 + AK^2) = √ (6^2 + (6√3)^2) = √ (36 + 108) = √144 = 12.

5) Так как все стороны четырехугольника PMEK равны, то PMEK - ромб, и его периметр равен 4 * PK = 4 * 12 = 48.

Ответ: 48 см.