18) (ana2): a10 a3 = a4

18) Дано выражение: $$\frac{(a^{5n} \cdot a^2) : a^{10}}{a^3} = a^4$$.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, то есть $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, то есть $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$.

Следовательно, $$\frac{a^{5n+2} : a^{10}}{a^3} = a^4 $$ $$\frac{a^{5n+2-10}}{a^3} = a^4 $$ $$ \frac{a^{5n-8}}{a^3} = a^4 $$ $$ a^{5n-8-3} = a^4 $$ $$ a^{5n-11} = a^4 $$.

Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ 5n-11 = 4 $$.

Находим n: $$ 5n = 4 + 11 = 15 $$ $$ n = \frac{15}{5} = 3 $$.

Ответ: $$n=3$$