Решим неравенство:
$$\frac{x}{x - 1} \ge 2$$
$$\frac{x}{x - 1} - 2 \ge 0$$
$$\frac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0$$
$$\frac{x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0$$
$$\frac{-x + 2}{x - 1} \ge 0$$
$$\frac{-(x - 2)}{x - 1} \ge 0$$
$$\frac{x - 2}{x - 1} \le 0$$
Решим методом интервалов:
1) Найдем нули числителя: $$x - 2 = 0$$, $$x = 2$$.
2) Найдем нули знаменателя: $$x - 1 = 0$$, $$x = 1$$.
3) Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки функции на каждом из интервалов:
+ - +
<-------------------(-------------------]-------------------->
1 2
4) Выберем интервал, где функция принимает отрицательные значения.
Ответ: $$x \in (1; 2]$$.