Дано: АЕ = ЕС, BE = DE, ∠EAC на 15° меньше ∠AEC. Найдите ∠BDE.

Рассмотрим треугольники ABE и CDE. По условию задачи, AE = EC и BE = DE. ∠AEB = ∠DEC как вертикальные. Следовательно, треугольники ABE и CDE равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как треугольники ABE и CDE равны, то ∠BAE = ∠DCE и AB = CD.

Так как AE = EC, то треугольник AEC - равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠EAC = ∠ECA.

По условию ∠EAC на 15° меньше ∠AEC, то есть ∠AEC = ∠EAC + 15°.

Сумма углов в треугольнике AEC равна 180°, то есть ∠EAC + ∠ECA + ∠AEC = 180°.

Так как ∠EAC = ∠ECA, то 2∠EAC + ∠AEC = 180°.

Заменим ∠AEC на ∠EAC + 15°: 2∠EAC + ∠EAC + 15° = 180°.

3∠EAC = 180° - 15° = 165°.

∠EAC = 165° : 3 = 55°.

∠BAE = ∠EAC = 55°.

Так как ∠AEB = ∠DEC, то ∠AEB = ∠AEC = ∠EAC + 15° = 55° + 15° = 70°.

В треугольнике ABE известны две угла, то ∠ABE = 180° - ∠BAE - ∠AEB = 180° - 55° - 70° = 55°.

∠BDE = ∠ABE = 55°.

Ответ: 55°