Функция \(f(x)\) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Определите количество точек разрыва у этой функции.

Решение:

Функция задана кусочно:

\( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ x+3, & \text{если } -1 1 \end{cases} \)

Рассмотрим каждую часть функции:

1. \( f(x) = \frac{1}{x} \) при \( x \le -1 \). Эта функция непрерывна на всей своей области определения \( x \neq 0 \). Так как \( 0 \) не входит в интервал \( x \le -1 \), эта часть не имеет точек разрыва в своей области.
2. \( f(x) = x+3 \) при \( -1 < x \le 1 \). Это линейная функция, которая непрерывна на всей своей области определения.
3. \( f(x) = 6 \) при \( x > 1 \). Это константа, которая непрерывна на всей своей области определения.

Теперь проверим точки, в которых меняется аналитическое выражение функции: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Точка \( x = -1 \):

• Левый предел: \( \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = -1 \).
• Значение функции в точке \( x = -1 \): \( f(-1) = \frac{1}{-1} = -1 \).
• Правый предел: \( \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x+3) = -1+3 = 2 \).

Так как левый предел \( -1 \) не равен правому пределу \( 2 \), функция имеет разрыв в точке \( x = -1 \).

Точка \( x = 1 \):

• Левый предел: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+3) = 1+3 = 4 \).
• Значение функции в точке \( x = 1 \): \( f(1) = 1+3 = 4 \).
• Правый предел: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 6 = 6 \).

Так как левый предел \( 4 \) не равен правому пределу \( 6 \), функция имеет разрыв в точке \( x = 1 \).

Кроме того, функция \( f(x) = \frac{1}{x} \) имеет разрыв в точке \( x = 0 \). Однако, эта точка не входит в область определения \( x \le -1 \) для данной части функции.

Таким образом, функция имеет две точки разрыва: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Ответ: 2