Найдите значение предела \( \lim_{x\to 0} \frac{\sin^3 3x}{x^3} \).

Решение:

Перепишем предел, выделив \( \sin^3 3x \):

\( \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 3x}{x}\right)^3 \)

Используем известное свойство предела: \( \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \).

Для этого приведём выражение к нужному виду. Умножим и разделим числитель на 3:

\( \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right)^3 \)

Теперь вынесем 3 из скобок:

\( \lim_{x\to 0} \left(3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\right)^3 \)

\( \lim_{x\to 0} 3^3 \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^3 \)

\( 27 \cdot \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^3 \)

Пусть \( y = 3x \). Когда \( x \to 0 \), то \( y \to 0 \). Тогда предел примет вид:

\( 27 \cdot \left(\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y}\right)^3 \)

Так как \( \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \), то:

\( 27 \cdot (1)^3 = 27 \cdot 1 = 27 \)

Ответ: 27