Решить неравенство \(\frac{x-9}{x+6} \ge 2\). Найдите количество целых отрицательных решений неравенства.

Решение:

Перенесём всё в одну сторону:

\( \frac{x-9}{x+6} - 2 \ge 0 \)

\( \frac{x-9 - 2(x+6)}{x+6} \ge 0 \)

\( \frac{x-9 - 2x - 12}{x+6} \ge 0 \)

\( \frac{-x - 21}{x+6} \ge 0 \)

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

\( \frac{x + 21}{x+6} \le 0 \)

Отметим корни числителя \( x = -21 \) и знаменателя \( x = -6 \) на числовой оси. Знаменатель не равен нулю.

Проверим знаки на интервалах:

• \( x < -21 \): \( \frac{-}{ -} = + \)
• \( -21 \le x < -6 \): \( \frac{+}{ -} = - \)
• \( x > -6 \): \( \frac{+}{ +} = + \)

Решение неравенства: \( -21 \le x < -6 \).

Целые отрицательные решения: \( -21, -20, ..., -7 \).

Количество целых отрицательных решений: \( -7 - (-21) + 1 = -7 + 21 + 1 = 15 \).

Ответ: 15