Решите уравнение \(3 \sin^2 x + 7 \cos x - 3 = 0\). Определите число корней уравнения в интервале \([0; 4\pi]\).

Решение:

Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \):

\( 3(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x - 3 = 0 \)

\( 3 - 3\cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0 \)

\( -3\cos^2 x + 7 \cos x = 0 \)

\( \cos x (7 - 3\cos x) = 0 \)

Отсюда два случая:

1) \( \cos x = 0 \)

В интервале \([0; 4\pi]\) решениями являются: \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \). Это 4 корня.

2) \( 7 - 3\cos x = 0 \)

\( \cos x = \frac{7}{3} \)

Это уравнение не имеет решений, так как \( \frac{7}{3} > 1 \).

Таким образом, в интервале \([0; 4\pi]\) уравнение имеет 4 корня.

Ответ: 4