Решите неравенство \(\log_{0.2} x \ge -2\). Определите, сколько целых чисел содержится в множестве решений неравенства.

Решение:

Запишем логарифмическое неравенство:

\( \log_{0.2} x \ge -2 \)

Так как основание логарифма \( 0.2 < 1 \), при переходе к показательной форме знак неравенства меняется на противоположный:

\( x \le (0.2)^{-2} \)

\( x \le (\frac{1}{5})^{-2} \)

\( x \le 5^2 \)

\( x \le 25 \)

Кроме того, аргумент логарифма должен быть положительным:

\( x > 0 \)

Объединяя условия, получаем, что решениями неравенства являются \( 0 < x \le 25 \).

Нам нужно найти количество целых чисел в этом интервале. Целые числа: 1, 2, 3, ..., 25.

Количество целых чисел равно \( 25 - 1 + 1 = 25 \).

Ответ: 25