Найдите значение предела \( \lim_{x\to 5} \frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 - 25} \).

Решение:

При подстановке \( x=5 \) в выражение получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

\( 5^2 - 8(5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \)

\( 5^2 - 25 = 25 - 25 = 0 \)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( x^2 - 8x + 15 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 8x + 15 = 0 \). Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4(1)(15) = 64 - 60 = 4 \). Корни: \( x_1 = \frac{8+2}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{8-2}{2} = 3 \). Значит, \( x^2 - 8x + 15 = (x-5)(x-3) \).

Знаменатель: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \) (разность квадратов).

Теперь перепишем предел:

\( \lim_{x\to 5} \frac{(x-5)(x-3)}{(x-5)(x+5)} \)

Сократим \( (x-5) \) (так как \( x \to 5 \), \( x \neq 5 \)):

\( \lim_{x\to 5} \frac{x-3}{x+5} \)

Теперь подставим \( x=5 \):

\( \frac{5-3}{5+5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)

Ответ: 0.2