Решите неравенство \(|2x + 5| \le 9\). Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства.

Решение:

Раскроем модуль:

\( -9 \le 2x + 5 \le 9 \)

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

\( -9 - 5 \le 2x \le 9 - 5 \)

\( -14 \le 2x \le 4 \)

Разделим все части на 2:

\( -7 \le x \le 2 \)

Целые решения этого неравенства: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Чтобы найти среднее арифметическое, сложим все эти числа и разделим на их количество.

Сумма: \( (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 \)

Заметим, что \( -7 + 2 = -5 \), \( -6 + 1 = -5 \), \( -5 + 0 = -5 \), \( -4 + (-1) = -5 \), \( -3 + (-2) = -5 \). Это не совсем удобно.

Проще заметить, что сумма противоположных чисел сокращается. Оставшиеся числа: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Сумма = \( (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 \) = \( -7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 \) = \( -21 \).

Количество целых решений: 10.

Среднее арифметическое: \( \frac{-21}{10} = -2.1 \).

Ответ: -2.1