Решите уравнение \(\log_{0.2} x + 3\log_{0.2} x + 2 = 0\). Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе запишите произведение корней.

Решение:

Объединим логарифмы:

\( \log_{0.2} x + \log_{0.2} x^3 + 2 = 0 \)

\( \log_{0.2} (x \cdot x^3) + 2 = 0 \)

\( \log_{0.2} x^4 = -2 \)

Перейдём к показательной форме:

\( x^4 = (0.2)^{-2} \)

\( x^4 = (\frac{1}{5})^{-2} \)

\( x^4 = 5^2 \)

\( x^4 = 25 \)

\( x = \pm \sqrt[4]{25} \)

\( x = \pm \sqrt{5} \)

Поскольку логарифм определён только для положительных значений аргумента, \( x > 0 \). Следовательно, \( x = \sqrt{5} \).

Уравнение имеет один корень. Произведение корней равно самому корню.

Ответ: 2.236