Решите уравнение \(12^x - 9 \cdot 4^x = 8 \cdot 3^x - 72\). Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе запишите меньший корень.

Решение:

Перепишем уравнение:

\( (3 \cdot 4)^x - 9 \cdot 4^x = 8 \cdot 3^x - 72 \)

\( 3^x \cdot 4^x - 9 \cdot 4^x = 8 \cdot 3^x - 72 \)

Сгруппируем слагаемые:

\( 4^x (3^x - 9) - 8 (3^x - 9) = 0 \)

\( (4^x - 8) (3^x - 9) = 0 \)

Это уравнение распадается на два:

1) \( 4^x - 8 = 0 \)

\( 4^x = 8 \)

\( (2^2)^x = 2^3 \)

\( 2^{2x} = 2^3 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = \frac{3}{2} \)

2) \( 3^x - 9 = 0 \)

\( 3^x = 9 \)

\( 3^x = 3^2 \)

\( x = 2 \)

Уравнение имеет два корня: \( \frac{3}{2} \) и \( 2 \). Меньший корень — \( \frac{3}{2} \).

Ответ: 1.5