Контрольная работа № 6, Вариант 2. 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть собственная скорость катера равна v км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. 1. Скорость катера против течения: v - 3 км/ч 2. Скорость катера по течению: v + 3 км/ч 3. Время движения против течения: $$\frac{12}{v-3}$$ часов 4. Время движения по течению: $$\frac{5}{v+3}$$ часов 5. Время движения по озеру: $$\frac{18}{v}$$ часов По условию, время движения против и по течению равно времени по озеру: $$\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}$$ Упростим: $$\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}$$ $$\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}$$ Перемножим крест накрест: $$v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)$$ $$17v^2 + 21v = 18v^2 - 162$$ Перенесем все в одну сторону: $$v^2 - 21v - 162 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-21)^2 - 4*1*(-162) = 441 + 648 = 1089$$ Находим корни: $$v_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21+33}{2} = 27$$ $$v_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21-33}{2} = -6$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Ответ: Собственная скорость катера 27 км/ч.