16. limx→0(1 + sin² 3x) cot² x

Вычислим предел $$\lim_{x \to 0} (1 + \sin^2(3x))^{\cot^2(x)}$$

Преобразуем выражение:

$$\lim_{x \to 0} e^{\ln((1 + \sin^2(3x))^{\cot^2(x)})} = \lim_{x \to 0} e^{\cot^2(x) \ln(1 + \sin^2(3x))}$$

Рассмотрим показатель степени:

$$\lim_{x \to 0} \cot^2(x) \ln(1 + \sin^2(3x)) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \ln(1 + \sin^2(3x))$$

Используем пределы $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$ и $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \ln(1 + \sin^2(3x)) = \lim_{x \to 0} \cos^2(x) \cdot \frac{\ln(1 + \sin^2(3x))}{\sin^2(3x)} \cdot \frac{\sin^2(3x)}{\sin^2(x)} = 1 \cdot 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3x)}{\sin^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot 9x^2}{\frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{9x^2}{x^2} = 9$$

Тогда:

$$\lim_{x \to 0} (1 + \sin^2(3x))^{\cot^2(x)} = e^9$$

Ответ: e^9