9. limx→0 3x(1-cos 6x)/(1+cos 4x)arcsin9x

Вычислим предел $$\lim_{x \to 0} \frac{3x(1 - \cos(6x))}{(1 + \cos(4x)) \arcsin(9x)}$$

Используем известные пределы $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(ax)}{x^2} = \frac{a^2}{2}$$ и $$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(ax)}{ax} = 1$$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{3x(1 - \cos(6x))}{(1 + \cos(4x)) \arcsin(9x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x \cdot \frac{(1 - \cos(6x))}{x^2} \cdot x^2}{(1 + \cos(4x)) \cdot \frac{\arcsin(9x)}{9x} \cdot 9x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^3 \cdot \frac{36}{2}}{(1 + \cos(0)) \cdot 9x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^3 \cdot 18}{2 \cdot 9x} = \lim_{x \to 0} \frac{54x^3}{18x} = \lim_{x \to 0} 3x^2 = 0$$

Ответ: 0