495 Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АВ и СД, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D==60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C=∠D=45°, AB=6 см, ВС = 9/2 см.

а) Дана трапеция ABCD с основаниями AB = 10 см, CD = 20 см и боковыми сторонами BC = DA = 13 см. Трапеция является равнобедренной. Высота BH, проведенная из вершины B, делит основание AD на два отрезка: AH и HD. AH = (CD - AB) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см. Тогда высоту BH можно найти из прямоугольного треугольника ABH: BH = $$\sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см. Площадь трапеции ABCD = $$\frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$$ см2.

б) Дана трапеция ABCD, где углы при основании CD равны 60°, а AB = BC = 8 см. Так как BC = AB, то трапеция равнобедренная, и AD = BC = 8 см. Пусть высота BH = h. cos(60°) = 1/2. (CD-AB)/2 = BC*cos(60°) = 8*1/2 = 4, тогда CD = 2*4+AB = 8+8=16. h = 8*sin(60°) = 8* $$\sqrt{3}$$ /2 = 4$$\sqrt{3}$$. S = (16+8)/2*h=12*4$$\sqrt{3}$$ = 48$$\sqrt{3}$$ см2.

в) Дана трапеция ABCD, где углы при основании CD равны 45°, AB = 6 см, BC = $$9\sqrt{2}$$ см. Так как углы при основании CD равны, трапеция равнобедренная, и AD = BC = $$9\sqrt{2}$$ см. Так как углы при основании CD равны 45°, то высота равна $$9\sqrt{2} \cdot sin(45) = 9\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) =9 \cdot 2/2 = 9$$ см. Отрезок CH = $$9\sqrt{2} \cdot cos(45) = 9\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) =9 \cdot 2/2 = 9$$ см.CD = 9+6+9 = 24 см. S = (6+24)/2*9= 15*9 = 135 см2.

Ответ: а) 180 см2; б) $$48\sqrt{3}$$ см2; в) 135 см2