62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро a, а радиус окружности, вписанной в основание, r.

В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности ( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} ), где ( a ) - сторона основания. Выразим сторону основания через радиус: ( a = \frac{2r}{\sqrt{3}} ). Площадь основания ( S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \left( \frac{2r}{\sqrt{3}} \right)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{4r^2}{3} \sqrt{3}}{2} = 2r^2\sqrt{3} ). Высота пирамиды ( h = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{b^2 - \left( \frac{2r}{\sqrt{3}} \right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{4r^2}{3}} ). Апофема ( A = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{b^2 - \frac{4r^2}{3} + r^2} = \sqrt{b^2 - \frac{r^2}{3}} ). Площадь боковой поверхности ( S_{бок} = 6 \cdot \frac{1}{2} a A = 3 a A = 3 \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}} \sqrt{b^2 - \frac{r^2}{3}} = 2r\sqrt{3} \sqrt{b^2 - \frac{r^2}{3}} ). Полная поверхность ( S = S_{осн} + S_{бок} = 2r^2\sqrt{3} + 2r\sqrt{3} \sqrt{b^2 - \frac{r^2}{3}} ). Ответ: Полная поверхность ( S = 2r^2\sqrt{3} + 2r\sqrt{3} \sqrt{b^2 - \frac{r^2}{3}} ).