67. Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а площадь боковой поверхности равна 144 см².

Пусть ( b ) - боковое ребро, ( S_{бок} ) - площадь боковой поверхности, ( a ) - сторона основания, ( A ) - апофема. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды: ( S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} a A = \frac{3}{2} a A ). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой боковой грани (апофемой), половиной стороны основания и высотой пирамиды. Высота пирамиды также образует прямоугольный треугольник с боковым ребром и расстоянием от основания высоты до вершины основания, которое составляет ( \frac{a\sqrt{3}}{3} ). Выразим ( a ) через ( A ) из формулы площади боковой поверхности: \[ a = \frac{2 S_{бок}}{3 A} = \frac{2 \cdot 144}{3 A} = \frac{96}{A} \] Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и ( \frac{a\sqrt{3}}{3} ) (расстояние от центра основания до вершины): \[ h^2 = b^2 - \left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)^2 = 10^2 - \frac{3 a^2}{9} = 100 - \frac{a^2}{3} \] Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и ( \frac{a}{2} ) (расстояние от центра основания до стороны): \[ h^2 = A^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2 = A^2 - \frac{a^2}{4} \] Приравниваем выражения для ( h^2 ): \[ 100 - \frac{a^2}{3} = A^2 - \frac{a^2}{4} \] Подставляем ( a = \frac{96}{A} ): \[ 100 - \frac{1}{3} \left( \frac{96}{A} \right)^2 = A^2 - \frac{1}{4} \left( \frac{96}{A} \right)^2 \] \[ 100 - \frac{9216}{3 A^2} = A^2 - \frac{9216}{4 A^2} \] \[ 100 - \frac{3072}{A^2} = A^2 - \frac{2304}{A^2} \] \[ 100 = A^2 + \frac{768}{A^2} \] \[ 100 A^2 = A^4 + 768 \] \[ A^4 - 100 A^2 + 768 = 0 \] Решаем квадратное уравнение относительно ( A^2 ): \[ A^2 = \frac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4 \cdot 768}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 3072}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{6928}}{2} = \frac{100 \pm 83,24}{2} \] ( A^2_1 = 91,62 ) и ( A^2_2 = 8,38 ) ( A_1 = \sqrt{91,62} \approx 9,57 ) и ( A_2 = \sqrt{8,38} \approx 2,89 ) Тогда ( a_1 = \frac{96}{9,57} \approx 10,03 ) и ( a_2 = \frac{96}{2,89} \approx 33,22 ) Ответ: Сторона основания приближенно равна 10,03 см или 33,22 см, а апофема приближенно равна 9,57 см или 2,89 см.