58. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α. Найдите двугранный угол x при основании пирамиды.

Пусть плоский угол при вершине равен ( \alpha ). Двугранный угол при основании ( x ) связан с плоским углом при вершине. В правильной четырехугольной пирамиде тангенс половины плоского угла при вершине равен отношению половины стороны основания к высоте пирамиды. А тангенс двугранного угла при основании равен отношению высоты пирамиды к половине стороны основания. Получается, что \[ \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{h} \] \[ \tan(x) = \frac{h}{a/2} \] Отсюда: \[ \tan(x) = \frac{1}{\tan(\alpha/2)} = \cot(\frac{\alpha}{2}) \] \[ x = \arctan(\cot(\frac{\alpha}{2})) \] Ответ: Двугранный угол при основании равен ( \arctan(\cot(\frac{\alpha}{2})) ).