64. По стороне основания a найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

Площадь основания (S_{осн} = a^2). Диагональное сечение – это треугольник с основанием, равным диагонали основания (a\sqrt{2}) и высотой, равной высоте пирамиды h. Площадь диагонального сечения (S_{сеч} = \frac{1}{2} a\sqrt{2} h). Так как (S_{сеч} = S_{осн}), то (a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} h), отсюда (h = a\sqrt{2}). Апофема (A = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a/2)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}). Боковая поверхность (S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} a A = 2 a A = 2 a \cdot \frac{3a}{2} = 3a^2). Ответ: Боковая поверхность равна (3a^2).