57. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.

Пусть ( h ) - высота пирамиды, ( a ) - сторона основания, ( l ) - боковое ребро. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания, высотой пирамиды и боковым ребром. Диагональ основания равна ( a\sqrt{2} ), поэтому половина диагонали равна ( \frac{a\sqrt{2}}{2} ). По теореме Пифагора: \[ l^2 = h^2 + \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2 \] Подставляем известные значения: \[ l^2 = 7^2 + \left( \frac{8\sqrt{2}}{2} \right)^2 \] \[ l^2 = 49 + (4\sqrt{2})^2 \] \[ l^2 = 49 + 16 \cdot 2 \] \[ l^2 = 49 + 32 = 81 \] \[ l = \sqrt{81} = 9 \] Ответ: Боковое ребро равно 9 см.