68. В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см²

Пусть ( b ) - боковое ребро, ( S_{полн} ) - площадь полной поверхности, ( a ) - сторона основания, ( h ) - высота пирамиды, ( A ) - апофема. Площадь основания ( S_{осн} = a^2 ). Полная поверхность ( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} ), где ( S_{бок} = 2aA ). Тогда: \[ 16 = a^2 + 2aA \] Выразим апофему A: \[ A = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{5^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{25 - \frac{a^2}{4}} \] Подставим это в уравнение для полной поверхности: \[ 16 = a^2 + 2a \sqrt{25 - \frac{a^2}{4}} \] \[ 16 - a^2 = 2a \sqrt{25 - \frac{a^2}{4}} \] Возведем обе части в квадрат: \[ (16 - a^2)^2 = 4a^2 \left( 25 - \frac{a^2}{4} \right) \] \[ 256 - 32 a^2 + a^4 = 100 a^2 - a^4 \] \[ 2 a^4 - 132 a^2 + 256 = 0 \] Разделим на 2: \[ a^4 - 66 a^2 + 128 = 0 \] Решаем квадратное уравнение относительно ( a^2 ): \[ a^2 = \frac{66 \pm \sqrt{66^2 - 4 \cdot 128}}{2} = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 512}}{2} = \frac{66 \pm \sqrt{3844}}{2} = \frac{66 \pm 62}{2} \] ( a^2_1 = \frac{66 + 62}{2} = 64 ) и ( a^2_2 = \frac{66 - 62}{2} = 2 ) ( a_1 = \sqrt{64} = 8 ) и ( a_2 = \sqrt{2} \approx 1,414 ) Если ( a = 8 ), то апофема ( A = \sqrt{25 - \frac{64}{4}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 ). Тогда площадь боковой поверхности ( S_{бок} = 2 \cdot 8 \cdot 3 = 48 ), а полная ( 48 + 64 = 112 ), что не равно 16. Следовательно, этот корень не подходит. Если ( a = \sqrt{2} ), то апофема ( A = \sqrt{25 - \frac{2}{4}} = \sqrt{25 - 0,5} = \sqrt{24,5} \approx 4,95 ). Тогда площадь боковой поверхности ( S_{бок} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4,95 \approx 14 ), а полная ( 14 + 2 = 16 ). Следовательно, этот корень подходит. Ответ: Сторона основания равна ( \sqrt{2} \approx 1,414 ) см.