21 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите отрезок ВС, если угол ОАВ равен 30°, АВ = 5 см.

Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Значит, OB ⊥ AB и OC ⊥ AC. Угол OAB = 30°, AB = 5 см.

В прямоугольном треугольнике OAB угол OAB = 30°, значит, OB = AB / √3, следовательно OB = 5√3 / 3 см.

В четырёхугольнике ABOC углы ABO и ACO прямые, значит, сумма углов BAC и BOC равна 180°.

Угол BAC = 180 - 2 * 30 = 120°

Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный (OB = OC как радиусы). Значит, углы OBC и OCB равны (180-120) / 2 = 30°.

По теореме косинусов BC² = OB² + OC² - 2*OB*OC*cos(BOC) = 2OB² - 2OB² * cos(120°) = 2OB² - 2OB² * (-1/2) = 3OB² = 3(5√3 / 3)² = 3*75/9=25

BC=5

Ответ: 5 см.