382 Расстояние от центра шара радиуса В до секущей плоскости рав- но д. Вычислите: а) площадь S сечения, если R=12 см, а=8 см; б) В, если площадь сечения равна 12 см², d = 2 см.

Решение:

Площадь сечения шара плоскостью - это площадь круга, образованного пересечением.

а) Дано: R = 12 см, d = 8 см, где d - расстояние от центра шара до плоскости сечения. Найти площадь S сечения.

Радиус сечения (r) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара (R), расстоянием от центра шара до плоскости (d) и радиусом сечения (r). По теореме Пифагора:

$$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см}$$.

Площадь сечения (круга) равна:

$$S = \pi r^2 = \pi (4\sqrt{5})^2 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80 \pi \approx 251.33 \text{ см}^2$$.

б) Дано: $$S = 12 \text{ см}^2$$, d = 2 см. Найти R.

Радиус сечения (r) равен $$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{12}{\pi}} \approx 1.95 \text{ см}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара (R), расстоянием от центра шара до плоскости (d) и радиусом сечения (r). По теореме Пифагора:

$$R = \sqrt{r^2 + d^2} = \sqrt{(\sqrt{\frac{12}{\pi}})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{12}{\pi} + 4} = \sqrt{\frac{12 + 4\pi}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{12 + 4 \cdot 3.14}{3.14}} \approx \sqrt{\frac{24.56}{3.14}} \approx \sqrt{7.82} \approx 2.8 \text{ см}$$.

Ответ: а) $$80 \pi \approx 251.33 \text{ см}^2$$, б) $$\sqrt{\frac{12 + 4\pi}{\pi}} \approx 2.8 \text{ см}$$