372 Точки А и В лежат на сфере с центроM OF AВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, TO OMLАB: 6) если ОМ 1 AB. TO М - середина отрезка АВ.

Решение:

а) Дано: А и В лежат на сфере с центром О, М - середина отрезка АВ.

Доказать: ОМ перпендикулярно АВ.

Доказательство:

Так как M - середина АВ, то AM = MB.

OA = OB (как радиусы сферы).

Тогда треугольники OAM и OBM равны по трем сторонам (OA = OB, AM = MB, OM - общая сторона).

Следовательно, углы OMA и OMB равны.

Так как углы OMA и OMB смежные и равны, то они прямые, то есть OMA = OMB = 90 градусов.

Следовательно, ОМ перпендикулярно АВ.

б) Дано: А и В лежат на сфере с центром О, ОМ перпендикулярно АВ.

Доказать: М - середина отрезка АВ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники OAM и OBM. Они прямоугольные (так как ОМ перпендикулярно АВ).

OA = OB (как радиусы сферы).

OM - общая сторона.

Тогда треугольники OAM и OBM равны по гипотенузе и катету.

Следовательно, AM = MB, то есть М - середина АВ.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано