373 Точка М — середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, АВ = 40 см; 6) ОМ. если R=15 мм, AB=18 мм; в) АВ, если R=10 дм, ОМ-60 см; г) АМ, если R=а, ОМ=b.

Решение:

а) Дано: R = 50 см, АВ = 40 см. Найти ОМ.

Так как М - середина АВ, то АМ = MB = АВ/2 = 40/2 = 20 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM (ОМ перпендикулярно АВ, так как М - середина АВ). По теореме Пифагора:

$$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{50^2 - 20^2} = \sqrt{2500 - 400} = \sqrt{2100} = 10\sqrt{21} \approx 45.83 \text{ см}$$.

б) Дано: R = 15 мм, АВ = 18 мм. Найти ОМ.

Так как М - середина АВ, то АМ = MB = АВ/2 = 18/2 = 9 мм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM (ОМ перпендикулярно АВ, так как М - середина АВ). По теореме Пифагора:

$$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ мм}$$.

в) Дано: R = 10 дм, ОМ = 60 см = 6 дм. Найти АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM (ОМ перпендикулярно АВ, так как М - середина АВ). По теореме Пифагора:

$$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ дм}$$.

Так как М - середина АВ, то АВ = 2 * AM = 2 * 8 = 16 дм.

г) Дано: R = a, ОМ = b. Найти АМ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM (ОМ перпендикулярно АВ, так как М - середина АВ). По теореме Пифагора:

$$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{a^2 - b^2}$$.

Ответ: а) $$10\sqrt{21} \text{ см}$$, б) 12 мм, в) 16 дм, г) $$\sqrt{a^2 - b^2}$$