Решите уравнение: 10) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x+1}=8\).

Область определения: \(x\ge-\frac13\). Возводим уравнение в квадрат:

\(4x+2+2\sqrt{(x+1)(3x+1)}=64\), поэтому \(\sqrt{(x+1)(3x+1)}=31-2x\). Дополнительно требуется \(x\le\frac{31}{2}\).

Снова возводим в квадрат: \((x+1)(3x+1)=(31-2x)^2\), откуда \(x^2-128x+960=0\). Корни: \(x=8\) и \(x=120\).

С учётом условия \(x\le\frac{31}{2}\) остаётся \(x=8\). Проверка: \(\sqrt9+\sqrt{25}=3+5=8\).

Ответ: \(x=8\).