13. Решите уравнение 2 log₆² x + 5 log₆ x + 2 = 0.

Решим уравнение 2 log₆² x + 5 log₆ x + 2 = 0.

Пусть y = log₆ x.

Тогда уравнение примет вид: 2y² + 5y + 2 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Теперь найдем x:

1) log₆ x = -1/2

$$x = 6^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

2) log₆ x = -2

$$x = 6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$$

Ответ: $$x = \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{1}{36}$$