8. Вычислить lg 2(log₂ 75-log₂ 15+ log₂ 20)

Вычислим lg 2(log₂ 75 - log₂ 15 + log₂ 20)

Сначала упростим выражение в скобках: log₂ 75 - log₂ 15 + log₂ 20

Используем свойства логарифмов: вычитание логарифмов - это логарифм деления, сложение логарифмов - это логарифм умножения.

log₂ 75 - log₂ 15 + log₂ 20 = log₂ (75/15) + log₂ 20 = log₂ 5 + log₂ 20 = log₂ (5*20) = log₂ 100

Теперь вычислим lg 2(log₂ 100) = lg (2* log₂ 100)

Выражение не имеет смысла, так как нет внешних скобок

Предположим, что имеется ввиду: lg(2*(log₂(75)-log₂(15)+log₂(20))) = lg(2 * log₂(100)) = lg(2 * log₂(10²)) = lg(2*2*log₂(10)) = lg(4*log₂(10)) = lg4+lg(log₂10)

Однако, учитывая, что в условии lg2 перед скобкой, будем вычислять lg(2) от результата log₂(75)-log₂(15)+log₂(20) = log₂(5*20) = log₂(100) = log₂(10²) = 2log₂(10)

Получается lg(2log₂(10))

Снова неясно, что подразумевается. Предложу вычислить log₂(75)-log₂(15)+log₂(20) = log₂(75/15) + log₂(20) = log₂(5) + log₂(20) = log₂(100)

log₂(100) = log₂(10²) = 2log₂(10)

Тогда выражение будет: lg(2*2log₂(10)) = lg(4log₂(10)) = lg4 + lglog₂(10) = 2lg2 + lg(log₂(10))

Пробуем другое прочтение: lg(2) * (log₂(75)-log₂(15)+log₂(20)) = lg(2) * log₂(100) = lg(2)*2log₂(10) = 2lg(2)*log₂(10) Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: log₂(10) = lg(10)/lg(2) = 1/lg(2) Получаем 2lg(2)*(1/lg(2)) = 2

Ответ: 2