Уровень Б, вариант 2, № 2. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, стягивающей угол α. Диагональ полученного сечения равна d и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объём цилиндра.

Высота цилиндра — перпендикулярная к плоскости основания составляющая диагонали: \(h=d\sin\beta\). Длина хорды, являющейся проекцией диагонали на основание, равна \(d\cos\beta\). Для хорды, стягивающей центральный угол \(\alpha\), она также равна \(2r\sin(\alpha/2)\). Следовательно, \(r=\frac{d\cos\beta}{2\sin(\alpha/2)}\).

Подставляем в формулу объёма: \(V=\pi r^2h=\frac{\pi d^3\sin\beta\cos^2\beta}{4\sin^2(\alpha/2)}\).

Ответ: \(\frac{\pi d^3\sin\beta\cos^2\beta}{4\sin^2(\alpha/2)}\).