Уровень В, вариант 1, № 1. Периметр осевого сечения цилиндра равен P. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол α. Найдите объём цилиндра.

Обозначим диаметр основания через \(x=2r\), а высоту через \(h\). Из периметра прямоугольного осевого сечения \(2(x+h)=P\), поэтому \(x+h=P/2\). Угол наклона диагонали к плоскости основания даёт \(\tan\alpha=h/x\). Отсюда \(x=\frac{P}{2(1+\tan\alpha)}=\frac{P\cos\alpha}{2(\sin\alpha+\cos\alpha)}\) и \(h=\frac{P\sin\alpha}{2(\sin\alpha+\cos\alpha)}\).

Так как \(r=x/2\), то \(V=\pi r^2h=\frac{\pi P^3\sin\alpha\cos^2\alpha}{8(\sin\alpha+\cos\alpha)^3}\).

Ответ: \(\frac{\pi P^3\sin\alpha\cos^2\alpha}{8(\sin\alpha+\cos\alpha)^3}\).