Вариант 1. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) $x^2+y^2-6x+4y+13\ge0$; б) $x^4+13x^2-6x+6>0$; в) $x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) $x^2+y^2-6x+4y+13\ge0$; б) $x^4+13x^2-6x+6>0$; в)…$ Фото задания

Вариант 1. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) $x^2+y^2-6x+4y+13\ge0$; б) $x^4+13x^2-6x+6>0$; в) $x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}$.

Accepted Answer

а) Выделим полные квадраты:

\[x^2+y^2-6x+4y+13=(x-3)^2+(y+2)^2\ge0.\]

б) Представим выражение как сумму положительных слагаемых:

\[x^4+13x^2-6x+6=x^4+\left(13x^2-6x+\frac{9}{13}\right)+\frac{69}{13}.\]

Квадратная часть равна $13(x-3/13)^2$, поэтому всё выражение строго положительно.

в) Обе стороны неотрицательны, поэтому можно сравнить квадраты. Разность квадратов равна \[(x^2+3)^2-(x^4+6x^2+8)=1>0.\] Значит, исходное строгое неравенство верно.

Вариант 1. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) \(x^2+y^2-6x+4y+13\ge0\); б) \(x^4+13x^2-6x+6>0\); в) \(x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}\).

Ответ: