Вариант 2. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) $x^2+y^2-2x+4y+5\ge0$; б) $x^4-3x^2-2x+6>0$; в) $x^2+2x+\frac1{x^2+2x+2}\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) $x^2+y^2-2x+4y+5\ge0$; б) $x^4-3x^2-2x+6>0$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Выделяем полные квадраты:

\[x^2+y^2-2x+4y+5=(x-1)^2+(y+2)^2\ge0.\]

б) Положительность можно показать разложением:

\[x^4-3x^2-2x+6=(x^2-x-2)^2+(x+1)^2+1>0.\]

в) Знаменатель $x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$. Приведём к одной дроби:

\[x^2+2x+\frac1{x^2+2x+2}=\frac{(x^2+2x)^2+2(x^2+2x)+1}{x^2+2x+2}=\frac{(x+1)^4}{(x+1)^2+1}\ge0.\]

Вариант 2. 5*. Докажите справедливость неравенств: а) \(x^2+y^2-2x+4y+5\ge0\); б) \(x^4-3x^2-2x+6>0\); в) \(x^2+2x+\frac1{x^2+2x+2}\ge0\).