Вариант 1, Задание 13: Укажите решение неравенства x² ≤ 64

Решение:

Неравенство \( x^2 \le 64 \) можно решить, перенеся 64 в левую часть:

\[ x^2 - 64 \le 0 \]

Разложим левую часть на множители как разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ (x - 8)(x + 8) \le 0 \]

Найдем корни уравнения \( (x - 8)(x + 8) = 0 \). Корни: \( x = 8 \) и \( x = -8 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -8] \), \( [-8, 8] \) и \( [8, +\infty) \).

Проверим знак выражения \( (x - 8)(x + 8) \) на каждом интервале:

• При \( x < -8 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-10 - 8)(-10 + 8) = (-18)(-2) = 36 > 0 \).
• При \( -8 < x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 < 0 \).
• При \( x > 8 \) (например, \( x = 10 \)): \( (10 - 8)(10 + 8) = (2)(18) = 36 > 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу \( [-8, 8] \).

Ответ: 3) [-6:6]