Вариант 2, Задание 15: Решите систему уравнений: [3x² + 2y² = 45, 9x² + 6y² = 45x]

Решение:

Данная система уравнений:

\[ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 45 \\ 9x^2 + 6y^2 = 45x \end{cases} \]

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив все члены на 3:

\[ 3x^2 + 2y^2 = 15x \]

Теперь у нас есть два уравнения, в которых левые части совпадают:

\[ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 45 \\ 3x^2 + 2y^2 = 15x \end{cases} \]

Приравниваем правые части:

\[ 45 = 15x \]

Решаем это уравнение относительно \( x \):

\[ x = \frac{45}{15} = 3 \]

Теперь подставим \( x = 3 \) в первое уравнение системы \( 3x^2 + 2y^2 = 45 \) для нахождения \( y \):

\[ 3(3)^2 + 2y^2 = 45 \]

\[ 3(9) + 2y^2 = 45 \]

\[ 27 + 2y^2 = 45 \]

\[ 2y^2 = 45 - 27 \]

\[ 2y^2 = 18 \]

\[ y^2 = 9 \]

Отсюда получаем два значения для \( y \): \( y = 3 \) или \( y = -3 \).

Таким образом, решениями системы являются пары \( (3, 3) \) и \( (3, -3) \).

Ответ: (3; 3), (3; -3)