Вариант В1 1 Найдите углы равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2:5.

Рассмотрим три случая:

1. Углы при основании относятся как 2:5, тогда угол при вершине равен $$180^{\circ} - 2x - 5x = 180^{\circ} - 7x$$. Этот случай невозможен, так как углы при основании равнобедренного треугольника должны быть равны.
2. Угол при основании относится к углу при вершине как 2:5.

Тогда угол при основании равен $$2x$$, а угол при вершине равен $$5x$$. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно, второй угол при основании тоже равен $$2x$$.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение:

$$5x + 2x + 2x = 180^{\circ}$$ $$9x = 180^{\circ}$$ $$x = 20^{\circ}$$

Тогда углы при основании равны: $$2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ}$$, а угол при вершине равен $$5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ}$$.

3. Угол при вершине относится к углу при основании как 2:5.

Тогда угол при вершине равен $$2x$$, а угол при основании равен $$5x$$. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно, второй угол при основании тоже равен $$5x$$.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение:

$$2x + 5x + 5x = 180^{\circ}$$ $$12x = 180^{\circ}$$ $$x = 15^{\circ}$$

Тогда угол при вершине равен: $$2 \cdot 15^{\circ} = 30^{\circ}$$, а углы при основании равны $$5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ}$$.

Ответ: $$40^{\circ}$$, $$40^{\circ}$$ и $$100^{\circ}$$ или $$30^{\circ}$$, $$75^{\circ}$$ и $$75^{\circ}$$