1) \(2^{\frac{2x}{3}}+2=2\cdot2^x\)

Положим \(t=2^{x/3}>0\). Тогда \(2^{2x/3}=t^2\), \(2^x=t^3\), поэтому получаем:

\[t^2+2=2t^3\]

Уравнение \(2t^3-t^2-2=0\) имеет единственный положительный корень \(t\approx1.197\). Следовательно,

\[x=3\log_2 t\approx3\log_2(1.197)\approx0.839.\]

Ответ: \(x\approx0.839\).